Det rytmiske uendelighedssystem

Det rytmiske uendelighedssystem ligger jo for så vidt lige for: Vort helt almindelige rytmesystem med helnoder, halvnoder, fjerdedele osv. er jo både uendeligt (principielt) og hierarkisk, men det er samtidig næsten for nærliggende og modsvarer slet ikke uendelighedsrækkens fascinerende mønstre og bølgebevægelser; ejheller tilfredsstiller det Nørgårds tiltrukkethed af aperiodiske rytmestrukturers ekspressive muligheder. Per Nørgård finder løsningen i det gyldne snit, som allerede har en lang forhistorie som musikalsk formgivningsprincip, men som må siges at være nyt på det detaljerede rytmiske plan.

Det gyldne snit

Det gyldne snit er det snit, der deler et liniestykke i 2, således at det mindste stykke forholder sig til det største, som det største stykke til hele liniestykket.

Omsat til tilnærmede hel tal svarer dette til f.eks. 5:8 = 8:13, hvilket igen svarer til den såkaldte fibonacci-række.
Igennem århundrederne har det gyldne snit været prist for sin harmoni og skønhed; i middelalderen var det endog kendt som den guddommelige proportion (ligesom ved treenigheden kræves 3 størrelser for at forklare den). Brugt utallige gange i kunst og arkitektur og eksisterende i stor mangfoldighed i den omgivende natur.

Nedenfor ses et liniestykke på 144 enheder som deles gyldent i to dele på henhv. 55 og 89. Hver af de herved fremkomne dele er igen underdelt i det gyldne snits proportioner, og denne underdeling kan fortsættes uendeligt. Man ser i den mest underdelte linie, at Per Nørgård lader skiftevis den mindste del og den største del i en gylden deling komme først. Dette resulterer i en proportionsrække der skiftevis udvider og sammentrækker sig i en blødt svungen form.

    3 - 5 - 8 - 5 - 8 - 13 - 8 - 5 - 8 - 13 - 21 - 13 - 8 - 13 - 8 - 5



Det er netop de blødt svungne mønstre, der er tilsigtet, når de gyldne proportioner omsættes til musikalske varighedsrelationer = rytmer. I stedet for at underdele en nodeværdi i potenser af 2 (1 helnode = 2 halvnoder = 4 fjerdedele osv.), underdeles i gyldne proportioner. Hvis en node underdeles i to skal de have proportionerne 3:5, hvilket let kan udtrykkes i vort normale notationssystem. (punkteret fjerdedel + 8-del bundet til halvnode). Hvis en node underdeles i 4 skal de have proportionerne 3:5:8:5, hvilket er væsentligt mere kompliceret i almindelig notation (21 enheder på 16 16-deles plads)


Det harmoniske uendelighedssystem

Også inden for det harmoniske aspekt fandt Per Nørgård et system, som opfyldte kravene om uendelighed og hierarkisk struktur, nemlig den naturgivne overtonerække (Per Nørgård lægger stor vægt på netop 'det naturgivne' - det ikke konstruerede. Det gyldne snit kan iagttages overalt i naturen,og den melodiske uendelighedsrække er ikke opfundet, men fundet som Per Nørgård ynder at formulere det).


Overtoner

At overtonerækken i princippet er uendelig, er en velkendt
sag. At den tillige er hierarkisk ses illustreret i dette eksempel. Denne overtonerække rummer nye overtonerækker på hver eneste af sine deltoner. Ved udvælgelse af hver 3. tone fra deltone 3 = kvinten (3,6,9...), ved udvælgelse af hver 5. tone fra deltone 5 =tertsen (5,10,15 ...) og hver 7. tone fra deltone 7 = septimen (7,14,21...) fremkommer nye uendelige overtonerækker.
Systemets åbenhed nedadtil - i princippet overskridende grænserne for, hvad der kan opfattes som toner - ses af, at grundtonen i eksemplet kan opfattes som deltone i overtonerækker med endnu dybere grundtone. Hver tone i dette overtonehierarki har således adskillige referencer. Tone nr. 15 i eksemplet er f.eks - foruden at være 15. deltone på G1 - 5. deltone på D3 og 3. deltone på H3.


Undertoner

Med vanlig interesse for polariteter anskuer Per Nørgård imidlertid ikke blot deltonehierarkiet som et opadstigende fænomen. Han opererer lige så fuldt med dettes spejling i et 'undertone'- eller subharmonisk spektrum, hvor overtoneseriens forholdstal, 1:2:3:4:5 etc. erstattes af modsætningen 1:1/2:1/3:1/4:1/5 etc. Dette begrundes i det akustiske fænomen, at der opstår differenstoner, når to toner klinger samtidig, og at der - jo mere disse toner nærmer sig hinanden - dannes et spektrum, der har karakter som en spejling af overtonespektret, det såkaldte 'subharmoniske' spektrum.
Per Nørgård vælger altså at se over- og undertonespektrene som de samklangsmæssige svar på den melodiske uendelighedsrække. Disse spektre er jo i princippet uendelige og indeholder alle toner, når man bevæger sig et stykke op i rækkerne. Det er imidlertid tydeligt, at Per Nørgård har følt sig tiltrukket af det dur- og mol-præg, der karakteriserer henh. over- og undertonerækkerne, så længe man ikke bevæger sig ud over den 10. deltone. I praksis bevæger han sig da også kun sjældent ud over det område, der viser en klar skelnen mellem dur og mol, og ofte udnytter han kompositorisk at polarisere disse urgamle modsætninger, som nu, med mols tilknytning til det subharmoniske princip, afsløres som virkelige modsætninger. F.eks. i den 3. symfoni, hvor 1. sats slutter med durpræg og overtoneklange i massevis - overtonespektret på tonen c forsvinder så at sige op i luften, for derefter i begyndelsen af 2. sats at dale ned igen som undertoneklange til et højt c med kraftigt molpræg.

Se i øvrigt artiklen Overtoner og undertoner.