Per Nørgårds uendelighedsrække - og fraktaler

Af Jørgen Mortensen

Det er slående, i hvor høj grad uendelighedsrækken har træk fælles med fraktaler og at den faktisk giver et billede af Kaos-teorien længe inden denne var formuleret af videnskaben.

Således som fraktaler generelt beskrives i det følgende må vi sige, at uendelighedsrækken har følgende egenskaber fælles med fraktalerne:

Skalainvarians - det samme billede dukker op i forskellige målestoksforhold

Selvsimilaritet - vi genfinder rækken inde i rækken

Konstruktion ved iteration (projektion af intervaller)

Konstruktion ved rekursion (at "folde" en gang til)

Den simple formel, det detaljerige billede

Fraktaler generelt

Ordet fraktal har med brudflade og fraktur at gøre. Mens geometrien overalt har rette linier eller helt glatte kurver, synes naturen at undgå dette. Vi ser den ujævne bark, den takkede bjergkam, den uregelmæssige kyst linie. Der forekommer faktisk slet ikke helt jævne eller rette linier i naturen. Den eneste undtagelse er en lysstråle.

En kystlinie er altid ujævn. Den repræsenterer både “selvsimilaritet” og “skalainvarians”, for på lang afstand ser man det samme ujævne billede som tæt på.

Målestoksforhold

Faktisk kan man slet ikke rigtigt definere længden af en kyststrækning, for den afhænger af, hvor lang den anvendte målestok er. Hvis vi har en målestok - altså i bogstaveligste forstand en stok man måler med - på 1 kilometer, når vi til et bestemt resultat, men vi når til et meget højere tal , dersom vi måler med en målestok på kun 1 meter. Selv om kysten er den samme, kan vi nemlig komme ind i alle små vige og krinkelkroge.

Dette, at man ikke kan få “det endelige svar”, men kan blive ved med at gå ned i stadig finere detaljer, er karakteristisk i det hele taget for fraktalgeometrien.

Fraktalgeometrien er egentlig et begreb fra begyndelsen af dette århundrede, men det var først omkring 1980, hvor computerne havde opnået en tilstrækkelig kapacitet, at man for alvor fik øjnene op for fraktaler og dermed for en helt ny videnskabelig beskrivelse af verden, Kaos-teorien (se f. eks. James Gleick KAOS - en ny videnskabs tilblivelse, Nysyn, 1990).

Matematikeren Benoit Mandelbrot udfærdigede i 1979 nogle afbildninger med computer af en mængde punkter, der - viser det sig - udgør ét sammenhængende område, den berømte Mandelbrot-mængde.

Mandelbrot formlen

Det fascinerende billede fremkommer på den måde, at man undersøger hvert punkt i xy-planet, svarende til et talpar, f. eks. x = -0.12 og y = 0.74. Dette talpar “testes” for, hvad der vil ske, når det bliver sendt gennem en formel - og det nye talpar, der kommer ud af formlen, sendes ind i formlen igen, og det nye talpar sendes ind i formlen igen…

(x,y) --> FORMEL --> (xny, yny)

Dette er netop selve iterationsprocessen.

Hvis det viser sig, at talparret på et tidspunkt går mod uendeligt, vil det ikke tilhøre mængden. Hvis det - uanset hvor mange gange vi sender det igennem - forbliver inden for nogle grænser, tilhører det mængden. Talparret -0.12 0.74 ligger faktisk inden for grænserne.

Computer-grafikken er altså skabt ved iteration.

Iteration

Den formel, der skaber netop dette billede er meget enkel. Detaljerigdommen er derfor overraskende.

Grænsedragningen på billedet er ligeså vanskelig som ved en kystlinie:
Vi kan blive ved med at forstørre (ændre målestok) og se flere detaljer i randområderne. Det spændende ved disse detaljer er, at de udviser similaritet med helheden. Igen og igen kan man finde små Mandelbrot-figurer. Mandelbrotmængden udviser altså selvsimilaritet. Den udviser også skalainvarians, idet vi ser den samme figur i forskellige skalaer eller målestokke (se f. eks. Peder Voetman Christiansen Den fraktale uendelighed i Paradigma nr. 4, 1987). Vi finder også hele tiden nye former, herunder let fortegnede Mandelbrotfigurer, altså en omtrentlig lighed.

Grænsedragning

Selvsimilaritet

Skalainvarians

Uforusigeligt?

Afbildningerne viser en overvældende detaljerigdom. Alle disse detaljer vil først kunne studeres, når computeren har gjort sit arbejde. Der er ikke genveje til at få dem at se. De er altså, hvor utroligt det end lyder, uforudsigelige, selv om enhver detalje kan beregnes.

Rekursion

En anden type fraktale billeder skabes ud fra et andet princip, nemlig rekursion. Rekursionen kan typisk bestå i at gennemføre en “foldningsprocedure” igen og igen, f. eks. af et liniestykke, der så hurtigt vil udvikle sig til en “dragekurve” (se f. eks. Hans Lauwerier Fractals, Images of Chaos, Princeton 1991).

Rekursion kan også bestå i at tilføje ekstra linier til en figur i en finere og finere inddeling. Dette er tilfældet i “Det tredelte træ” (s. 12 hos Lauwerier). Her har vi først tre rette linier, der støder sammen. Disse udgør et grundmotiv, der udmøntes igen og igen. Først udvides der med 6 nye lidt kortere linier, så vi får grundmotivet endnu 3 gange i mindre målestok. Der er i alt 9 rette linier nu. I de næste inddelinger kommer vi op på 27, 81, 243, 729 rette linier.