Konstruktion ved “rekursion”

Af Jørgen Mortensen

Når denne måde at konstruere uendelighedsrækken på er taget med, er det fordi begrebet rekursion er aktuelt inden for fraktalgeometrien.

Ved rekursion forstår man, at man “folder igen” eller “opdeler endnu en gang”. Dette kan iagttages i uendelighedsrækken, og man kan faktisk konstruere den ud fra det princip.
Vi kan betragte udvidelsen fra 8 til 16 toner som en “udfoldnig”, se nodeekemplet:
Udfoldningen foregår på den måde, at man først tager tone 3 og 4, der - idet man deler de første 8 toner op i 4 lige store dele - kan betragtes som den anden fjerdedel af den oprindelige helhed. Dernæst kommer tone 1 og 2 - den første fjerdedel af de oprindelige 8 toner.

Dernæst kommer tone 4 og tone 3, som er den anden fjerdedel igen, men spittet midt over og i omvendt rækkefølge. Vi er nu nede på - ikke tonegrupper, men - enkelttoner. Så tilføjes to nye toner, som endnu ikke har været der - først den nederste og så den øverste (e’ og h’).
Udvidelsen fra 16 til 32 toner foregår fuldstændig analogt:
Først tone 5, 6, 7, 8 (den anden fjerdedel af det oprindelige)

Så tone 1, 2, 3, 4 (den første fjerdedel)

Så tone 7, 8 samt 5, 6 (den anden fjerdedel splittet midt over, delene bragt i omvendt orden).

Så tone 8 og 7 (de anden halvdel af den anden fjerdedel af de oprindelige 16 toner i modsat rækkefølge - og nu er vi nede i enkelt-toner).
Så tilføjes de nye toner es’ og c’’.

Udtrykt mere generelt er “fordoblingsprocessen” ved rekursion altså:

    • at tage hele afsnittet hen til midten, dele det op i to dele, som bringes i omvendt rækkefølge

    • at tage et afsnit - kun halvt så langt - hen til midten, dele det op i to dele,  bringe dem i omvendt rækkefølge

    • at gentage dette indtil man er nede i enkelttoner

    • så tilføje de to nye toner, først den nederste, så den øverste

Rækken kan altså - også helt nede fra 4 toner - konstrueres ved rekursion.

Denne rekursion viser tydeligt, at begyndelsen af rækken vil komme igen og igen i stadig længere forløb:
Tone 6 (= tone 1), tone 11 og 12 (= tone 1 og 2),
tone 21 - 24 (tone 1 - 4), tone 41 - 48 (= tone 1-8),
tone 81 - 96 (= tone 1 - 16) tone 161- 192 (=tone 1 - 32) etc.