Konstruktion ved udvidelse af et tilfældigt segment

Af Jørgen Mortensen

Den særlige egenskab ved rækken, at hver anden tone danner rækken i omvending og at hver fjerde tone danner rækken i retvending kan bruges til at udvide et tilfældigt segment af rækken til det dobbelte eller firedobbelte, uden at man behøver at kende rækkeelementernes numre.

Det skal bemærkes, at hvis man tager to elementer i rækken, som følger lige efter hinanden, vil deres værdier have summen 1 - det gælder dog kun fra et lige nummer i rækken (idet vi tæller fra 0) til det efterfølgende ulige nummer. Sagt på en anden måde: Jo større udsving i den ene retning, des større udsving vil der også være i den anden retning. Har vi værdien -5 vil den efterfølgende værdi således være 6, har vi 6 vil den efterfølgende værdi være -5.

Hvis vi har to på hinanden følgende værdier i rækken, f. eks. +3 og -1 (her er valgt et ulige og et lige nummer) kan vi regne ud, hvorledes billedet ville være, hvis der var dobbelt så mange elementer. Dobbelt så langt ude i rækken vil de for det første begge være “lige numre” uanset hvad de var før, for det andet vil de være i omvending.
Vi har altså de 4 værdier:

    -3
    ukendt
    +1
    ukendt

Den første ukendte må være +4. Summen af de to første tal skal jo være 1. Den næste ukendte element vil tilsvarende have værdien 0. De fire elementer bliver:

    -3 +4 +1 0

Dobbelt så langt ude igen med dobbelt så mange elementer vender vi endnu en gang værdierne:

    +3
    ukendt
    -4
    ukendt
    -1
    ukendt
    0
    ukendt

Med de samme regneregler bliver resultatet:

    +3 -2 -4 +5 -1 +2 0 +1

Generelt set vil det oprindelige element med værdien x i firedoblingen have tre efterfølgende toner efter formlen:

        x

    1 - x

    -1 - x

    2 + x
Faktisk kan man også konstruere hele uendelighedsrækken ud fra dette. Fra kun at have et grundelement med værdien 0 konstruerer vi de fire første elementer:

    0

    =

    0

    1- 0

    =

    +1

    -1- 0

    =

    -1

    2 + 0

    =

    +2

Alt i alt:

    0 +1 -1 +2

Disse udvides så til 16:

    0 1 -1 2 1 0 -2 3 -1 2 0 1 2 -1 -3 4

Og så fremdeles......

Hvis man videre betragter uendelighedsrækken som grupper af fire toner helt fra starten og videre vil alle disse fire-toners grupper kunne beskrives ved:

    x

    y

    y - 2

    x + 2

Der er altså en difference mellem de to yderste elementer på +2 og mellem de to midterste elementer på -2. Dette mønster fraviges aldrig.